Barisan dan Deret

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Matematika adalah salah satu ilmu dasar, yang semakin dirasakan interkasinya dengan bidang-bidang ilmu lainnya seperti ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi ini terletak pada struktur ilmu dan perlatan yang digunakan. Ilmu matematika sekarang ini masih banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti bidang industri, asuransi, ekonomi, pertanian, dan di banyak bidang sosial maupun teknik. Mengingat peranan matematika yang semakin besar dalam tahun-tahun mendatang, tentunya banyak sarjana matematika yang sangat dibutuhkan yang sangat terampil, andal, kompeten, dan berwawasan luas, baik di dalam disiplin ilmunya sendiri maupun dalam disiplin ilmu lainnya yang saling menunjang. Untuk menjadi sarjana matematika tidaklah mudah, harus benar-benar serius dalam belajar, selain harus belajar matematika, kita juga harus mempelajari bidang-bidang ilmu lainnya. Sehingga, jika sudah menjadi sarjana matematika yang dalam segala bidang bisa maka sangat mudah untuk mencari pekerjaan.

Kata matematika berasal dari kata “mathema” dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan atau belajar.” Disiplin utama dalam matematika di dasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika yaitu studi tentang struktur, ruang, dan perubahan. Pelajaran tentang struktur yang sangat umum dimulai dalam bilangan natural dan bilangan bulat, serta operasi aritmatikanya, yang semuanya dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan. Ilmu tentang ruang berawal dari geometri. Dan pengertian dari perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu hal yang biasa dalam ilmu alam dan kalkulus.

Dalam perdagangan sangat berkaitan erat dengan matematika karena dalam perdagangan pasti akan ada perhitungan, di mana perhitungan tersebut bagian dari matematika. Secara tidak sadar ternyata semua orang menggunakan matematika dalam kehidupan sehari-hari seperti jika ada orang yang sedang membangun rumah maka pasti orang tersebut akan mengukur dalam menyelesaikan pekerjaannya itu. Oleh karena itu matematika sangat bermanfaat sekali dalam kehidupan sehari-hari.

Salah satu karakteristik matematika adalah mempunyai objek yang bersifat abstrak ini dapat menyebabkan banyak siswa mengalami kesulitan dalam matematika. Prestasi matematika siswa baik secara nasional maupun internasional belum menggembirakan. Dalam pembelajaran matematika siswa belum bermakna, sehingga pengertian siswa tentang konsep sangat lemah.

“Menurut Jenning dan Dunne (1999) mengatakan bahwa, kebanyakan siswa mengalami kesulitan dalam mengaplikasikan matematika ke dalam situasi kehidupan real.” Hal ini yang menyebabkan sulitnya matematika bagi siswa adalah karena dalam pembelajaran matematika kurang bermakna, dan guru dalam pembelajarannya di kelas tidak mengaitkan dengan skema yang telah dimiliki oleh siswa dan siswa kurang diberikan kesempatan untuk menemukan kembali ide-ide matematika. Mengaitkan pengalaman kehidupan nyata, anak dengan ide-ide matematika dalam pembelajaran di kelas sangat penting dilakukan agar pembelajaran matematika bermakna.

Menurut Van de Henvel-Panhuizen (2000), bila anak belajar matematika terpisah dari pengalaman mereka sehari-hari, maka anak akan cepat lupa dan tidak dapat mengaplikasikan matematika. Salah satu pembelajaran matematika yang berorientasi pada matematisasi pengalaman sehari-hari dan menerapkan matematika dalam kehidupan sehari-hari adalah pembelajaran Matematika dasar I.

Pembelajaran matematika relaistik pertama kali diperkenalkan dan dikembangkan di Belanda pada tahun 1970 oleh Institut Freudenthal. Pembelajaran matematika harus dekat dengan anak dan kehidupan nyata sehari-hari.

Biasanya ada sebagian siswa yang menganggap belajar matematika harus dengan berjuang mati-matian dengan kata lain harus belajar dengan ekstra keras. Hal ini menjadikan matematika seperti “monster” yang mesti ditakuti dan malas untuk mempelajari matematika. Apalagi dengan dijadikannya matematika sebagai salah satu diantara mata pelajaran yang diujikan dalam ujian nasional yang merupakan syarat bagi kelulusan siswa-siswi SMP maupun SMA, ketakutan siswa pun makin bertambah. Akibat dari pemikiran negatif terhadap matematika, perlu kiranya seorang guru yang mengajar matematika melakukan upaya yang dapat membuat proses belajar mengajar bermakna dan menyenangkan. Ada beberapa pemikiran untuk mengurangi ketakutan siswa terhadap matematika.

Salah satunya dengan cara pembelajaran Matematika dasar I dimana pembelajaran ini mengaitkan dan melibatkan lingkungan sekitar, pengalaman nyata yang pernah dialami siswa dalam kehidupan sehari-hari, serta menjadikan matematika sebagai aktivitas siswa. Dengan pendekatan MATEMATIKA DASAR I tersebut, siswa tidak harus dibawa ke dunia nyata, tetapi berhubungan dengan masalah situasi nyata yang ada dalam pikiran siswa. Jadi siswa diajak berfikir bagaimana menyelesaikan masalah yang mungkin atau sering dialami siswa dalam kesehariannya.

Pembelajaran sekarang ini selalu dilaksanakan di dalam kelas, dimana siswa kurang bebas bergerak, cobalah untuk memvariasikan strategi pembelajaran yang berhubungan dengan kehidupan dan lingkungan sekitar sekolah secara langsung, sekaligus mempergunakannya sebagai sumber belajar. Banyak hal yang bisa kita jadikan sumber belajar matematika, yang penting pilihlah topik yang sesuai misalnya mengukur tinggi pohon, mengukur lebar pohon dan lain sebagainya.

Siswa lebih baik mempelajari sedikit materi sampai siswa memahami, mengerti materi tersebut dari pada banyak materi tetapi siswa tidak mengerti tersebut. Meski banyak tuntutan pencapaian terhadap kurikulum sampai daya serap namun dengan alokasi yang terbatas. Jadi guru harus memberanikan diri menuntaskan siswa dalam belajar sebelum ke materi selanjutnya karena hal ini dimaksudkan agar tidak terjadi kesalahpahaman siswa dalam belajar matematika.
Kebanyakan siswa, belajar matematika merupakan beban berat dan membosankan, jadinya siswa kurang termotivasi, cepat bosan dan lelah. Adapun beberapa cara yang dapat dilakukan untuk mengatasi hal di atas dengan melakukan inovasi pembelajaran. Beberapa cara yang dapat dilakukan antara lain memberikan kuis atau teka-teki yang harus ditebak baik secara berkelompok ataupun individu, memberikan permainan di kelas suatu bilangan dan sebagainya tergantung kreativitas guru. Jadi untuk mempermudah siswa dalam pembelajaran matematika harus dihubungkan dengan kehidupan nyata yang terjadi di dalam kehidupan sehari-hari.

1.2 Tujuan Penulisan

1.      Suatu pembelajaran matematika tidaklah sulit, ada cara untuk mempermudah dalam belajar matematika yaitu dengan cara Pembelajaran Matematika dasar I. Dimana pembelajaran ini menghubungkan dengan kehidupan sehari-hari. Dalam penulisan makalah ini bertujuan:

1)      Untuk mempermudah siswa dalam belajar matematika dapat menggunakan dalam pembelajaran Matematika dasar I.

2)      Guru dalam menyampaikan materi harus mempunyai strategi dalam pembelajaran matematika, supaya siswa tidak bosan dalam pembelajaran matematika.

3)       Supaya siswa mengetahui betapa menyenangkan mempelajari matematika.

4)      Untuk mengetahui lebih jelas lagi tentang pembelajaran Matematika dasar I.

5)      Untuk memaparkan secara teori pembelajaran Matematika dasar I.

6)      Untuk pengimplementasian pembelajaran Matematika dasar I.

7)      Kaitan antara pembelajaran Matematika dasar I dengan pengertian.

BAB II

MATERI POKOK

A.    BARISAN DAN DERET

Barisan adalah suatu bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Sedangkan deret adalah jumlah dari bilangan.

1.      Barisan dan Deret Aritmetika

Pengertian

Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Harga yang tetap ini dinamakan beda. Suatu barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b adalah

a,a + b,a + 2b,a + 3b, dan seterusnya.

Dengan memperhatikan pola keberaturan empat suku pertama,

Suku pertama = u1= a = a + ( 1 – 1 )b

Suku kedua = u 2 = a + b = a + ( 2 – 1 )b

Suku ketiga = u 3 = a + 2b = a + ( 3 – 1 )b

Suku keempat = u 3 = a + 2b = a + ( 4 – 1 )b

……………………………………………….

Maka suku ke-n suatu barisan aritmetika adalah

u n = a + ( n – 1 )b

Contoh Soal :

Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika. Jika barisan aritmetikanya adalah u1 , u 2 , ….., u n , maka deret aritmetikanya adalah:

n

 

k=1

S n = ∑ U_k =  u1+ u 2 + …..+ u n

Suku ke-n dan jumlah suku n suku pertama deret aritmetika

Pada deret aritmetika u 1+ u 2 + …..+ u n dengan suku pertama = u1= a dan beda deret = b, maka suku ke-n deret ini adalah u n = a + ( n – 1 )b dan jumlah n suku pertamanya adalah

S n = u1+ u 2 + …..+ u n = ½ n ( u₁+ u_n )=1/2 n (2a + (n-1)b)

Contoh Soal :

1.      Diketahui barisan aritmatika  : -3 , 2 , 7 , 12 , ....

Tentukan :

a). Suku ke-8

b). Suku ke-20

Jawab :

a = -3

b = 5

U_n = a + (n-1).b          U₂₀ = -3 + (20-1).5

U₈ = -3 + (8-1).5           = -3 + 19.5

       = -3 + 7.5               = 92

      =  32                           

2. Diketahui suatu deret aritmatika : 3, 7, 11, 15, ...., hitung beda dan suku ke-7 dari contoh deret tersebut?

    Jawab:

    Dik :

    deret : 3,7 , 11, 15, ...

    Ditanya : b dan U7 ?

    Penyelesaian :

    b = 7-3 = 11-7 = 4

    Un = a + (n-1) b

          = 3 + (7-1) 4

          = 3 + (6).4

          = 3 + 24

          = 27

    Jadi beda adalah 4 dan Suku ke-7 adalah 27.

Barisan dan Deret Geometri

 Pengertian

Barisan geometri adalah suatu barisan yang mempunyai pola keberaturan hasil bagi dua

suku berturutan tetap harganya. Harga yang tetap ini dinamakan rasio. Suatu barisan

geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah

a, ar, ar ² , ar ³ , dan seterusnya

dengan memperhatikan pola keberaturan empat suku pertamanya. Suku pertama = u 1= a = ar 0= ar 1−1

Suku kedua = u 2 = ar = ar 2−1

Suku ketiga = u 3 = ar 2 = ar 3−1

Suku keempat = u 4 = ar 3 = ar 4−1

………………………………………..

maka suku ke-n suatu barisan geometri adalah

u n = ar n−1

deret geometri adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Jika barisan geometrinya adalah :

n

 

k=1

S n = ∑ U_k =  u1+ u 2 + …..+ u n

Suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri

Pada deret geometri u 1+ u 2 + …..+ u n dengan suku pertama = u 1= a dan rasio deret = r ,

dengan r _ 1, maka suku ke-n deret ini adalah u n = ar n−1 dan jumlah n suku pertamanya

adalah

S n = u1+ u 2 + …..+ u n = a + ar + ar 2 + …..+ ar n−1 = a .1- rⁿ

                                                                                                1 - r

Contoh Soal :

1. Carilah suku ke 8 dari barisan di bawah ini !
   a) 2,4,8,16,32,...    b) 2,1,1/2,1/4,1/8,...
2. Diketahui barisan geometri dengan U3 = 27 dan U5 = 243. Berapakah 6 suku pertama
    deret tersebut?

Penyelesaian :
1. a) U1 = 4                U8 = U1 . r8-1 = 2 . 27  =  2 . 128 = 256
        U2 = 2
       
         r = U2 : U1
           = 4 : 2
            = 2
    b) U2 = 1                  U8 = U1 . r8-1 = 2 . (1/2)7 =  2 x 1/128 = 1/64
        U1 = 2

         r = U2 : U1
           = 1 : 2
           = 1/2
2. U3 = a .  r3-1   = a . r2 = 27                          27 = U1 . (3)3-1
    U5 = a .  r5-1   = a . r4 = 243                        27 = U1 . 32
                                                                       27 = U1 . 9
   U5/U3 = a . r4 / a . r2 = 243/27              
            
    r2 = 9                                                            U1 = 27 : 9 = 3
  
    r = 3

    S15 = 3 ( 36 - 1) / 3-1 = 3 (729-1) / 2 = 3 (728) /2 = 1092

B.     TURUNAN

1.      Pengertian

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi  f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

Aturan menentukan turunan fungsi

Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorematentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.

Turunan dasar

Aturan - aturan dalam turunan fungsi adalah :

1. f(x), maka f'(x) = 0
2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
3. Aturan pangkat : Jika f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X ^{n – 1}
4. Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)
5. Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :

1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
3. (fg)’ (x) = f (x) g’(x) + g’(x) f(x)
4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f' (x)- f(x) g' (x))/((g(x)²)

2.      Turunan Aljabar dan Trigonometri

Turunan fungsi trigonometri

1. d/dx ( sin x ) = cos x
2. d/dx ( cos x ) = - sin x
3. d/dx ( tan x ) = sec² x
4. d/dx ( cot x ) = - csc² x
5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x
6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

Turunan fungsi invers

(f^-1)(y) = 1/(f' (x)), atau dy/dx = 1/(dx/dy)

Turunan Fungsi Aljabar

Materi Turunan (derivatif) mencakup materi turunan fungsi aljabar,turunan fungsi trigonometri, gradien garis singgung dan persamaan garis singgung pada suatu kurva tertentu, titik stasioner, fungsi naik dan fungsi turun. Lumayan banyak juga,yah…kita coba mulai dari fungsi aljabar dulu.

Turunan fungsi f ‘ (x)  didefinisikan sebagai :

 

Rumus-rumus Turunan :

untuk a = konstanta

•      maka     
•   maka  
•          maka  

jika  U = u(x) dan V = v(x) adalah suatu fungsi

•   maka  
•    maka  
• maka 
• maka  
• maka     dinamakan aturan rantai

Contoh dan pembahasan turunan fungsi:

·         Diketahui  f(x) = 2x³ + 3x – 4

Tentukan turunannya ...

Penyelesaian :

f(x) = 2x³ +3x-4

f’(x) =  2 . 3x³-1 + 3 . 1x ^1-1 -0

f’(x) = 6x²  + 3

·         Diketahui  f’(x) adalah turunan dari f(x)

f(x)  =  5x³ + 2x² + 6x + 12

Nilai f’(x) adalah....

Penyelesaian :

              f(x) = 5x³ +2x² + 6x + 12

              f’(x) = 15x²+ 4x +6

              f’(3) = 15 . 3²  +4 . 3 + 6

                      = 135 + 12 + 6

                      = 153

·         Diketahui fungsi f(x) = 3x⁴ + 2x³ -  x + 2 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai dari f’( 1) adalah...

Penyelesaian :

f (x) = 3x⁴ + 2x³– x + 2

f’ (x) = 12x ³ + 6x² – 2

f’(1) = 12 + 6 + 2

        = 18 – 2

        =16

·         Diketahui fungsi f(x) = x⁵ +10x⁴ +5x² -3x-10 dan f’ adalah turunan pertama dari  f. Nilai f’ (1) adalah....

Penyelesaian :

f(x) = x⁵ +10x⁴+5x²-3x-10

f’(x) = 5x⁴ + 40x³ + 10x-3-10

f’(1)= 5.1 + 40.1 + 10.1 – 3  − 10

        = 5 + 40 +10 – 3 – 10

        = 42  

·         Turunan pertama fungsi  f(x) =(3x ²-5)⁴  adalah f’(x) =....

Penyelesaian :

               f(x) =(3x ²-5)⁴

               f’(x) = (6x – 5 )⁴

·         Diketahui  f(x) = x⁶ + 12x⁴ +2x² – 6x + 8

Dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) adalah....

               Penyelesaian:

               f(x) = x⁶ + 12x⁴ +2x² – 6x + 8

               f’(x)= 6x⁵ + 48x³ – 6 + 8

               f’(1)= 6.1 + 48.1 – 6 + 8

                      = 6 + 48 – 6 + 8

                      = 56

Turunan pertama dari f(x) = 2x³ + 3x²– x + 2 adalah f’(x)

Nilai f’(1) adalah....

Penyelesaian:

f(x)      = 2x³ + 3x² – x + 2

f’(x)     = 6x² + 6x – 1 + 2

f’(1)     = 6.1 + 6.1 – 1 +

= 6 + 6 – 1 +2

                 = 13

·         Diketahui f(x) = 6x⁴– 2x³ + 3x² – x – 3  dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x).

Nilai f’(1) adalah....

Penyelesaian:

f(x)      = 6x⁴ – 2x³ + 3x² – x – 3 

f’(x)     = 24x³ – 6x² + 6x – 1 – 3

f’(1)     = 24.1 – 6.1 + 6.1 – 1 -3   

            = 24 – 6 + 6 -1 -3

            = 20

·         Diketahui  y = 3x⁴ -2x⁵ – 1/2x⁶ -5¹-3

Ditanya : turunannya

Penyelesaian :

y’         =12x^4-1 – 2. 5x^{5 -1} – 1/2 .6x^6-1 – 5.1x ^1-1   -  0

            = 12x³ -10x⁴ -3x⁵-5

·         Diketahui f(x) = (x – 2)2

Turunannya?

Penyelesaian :

f(x)      = (x – 2)2 = x2 – 4x + 4

f(x)      = x2 – 4x + 4

f’(x)     = 2x2-1 – 4x1-1 + 0

f’(x)     = 2x – 4

maka

maka

C.    FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Fungsi Naik :

Suatu fungsi f disebut naik dalam suatu interval jika untuk setiap nilai  x₁dan x₂ pada interval itu,  berlaku  jika x₁<x₂  maka  f(x₁)<f(x₂)

             

Fungsi  Turun :

Suatu fungsi f disebut turun pada suatu interval untuk setiap nilai x₁ dan x₂ dalam interval itu, berlaku jika x₁ < x₂ maka  f(x₁)> f(x₂)

Dalam menentukan interval naik dan turun sebuah fungsi (x),tahap – tahap pengerjaannya yaitu :

a.       Menentukan turunan pertama dari fungsi (x)

b.      Menentukan batas – batas interval

c.       Menentukan garis bilangan

Fungsi Naik, Fungsi Turun  & Turunan Pertama :

Perhatikan gambar:

Dari gambar terlihat bahwa ;

Jika fungsi naik, gradien garis singgung  positif  àturunan pertama positif.

Jika fungsi turun, gradien garis singgung negatif àturunan pertama negatif.

Jadi turunan pertama dapat dipakai untuk melihat apakah sebuah fungsi (sedang) naik  atau turun.

Contoh :

Diketahui fungsi f(x) = 2x³ – 9x² + 12x + 10. Tentukan dalam inteval mana fungsi f(x) turun ?

f’x = 6x² – 18x + 12

Menentukan batas – batasnya = 6x² – 18x + 12 = x²– 3x + 2

                                                              6

f’ = 0

x²– 3x + 2       → Faktornya → (x-1) (x-2) → x = 1 , x = 2

+                      -                       +

            1                      2

            x = 1                x = 2

x < 1    ↓          x > 2 = Fungsi naik

1  < x < 2 = Fungsi turun

D.    MATRIKS

Matrik adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dikalkulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

ORDO

Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n).
Matriks di atas berordo 2x3.

TRANSPOSE MATRIKS

Transpose matriks adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya.

CONTOH :



maka matriks transposenya (A^t) adalah :

KESAMAAN MATRIKS

Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika
a. Ordonya sama
b. Elemen-elemen yang seletak sama


Contoh:



Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

maka

maka

maka

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau ordo yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

atau dalam representasi dekoratfinya

 

Perkalian Skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

Contoh perhitungan :

Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama. Namun dengan syarat, dua matriks A dan B terdefinisi untuk dikalikan, jika banyaknya kolom A = banyaknya baris B, dengan hasil suatu matriks C yang berukuran (memiliki ordo) baris A x kolom B.
Jika syarat tersebut tidak dipenuhi (jumlah kolom matriks A tidak sama dengan jumlah bari matriks B) maka kedua matriks tersebut tidak dapat dikalikan.

A _{m x n} x B _{n x p} = C _{m x p}

(jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris kolom B yaitu n)

Contoh perhitungan :



diatas adalah matriks 2x3 dikali matriks 3x2 yang hasilnya adalah matriks 2x2.


Ket :
perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AxB tidak sama dengan BxA) tetapi bersifat asosiatif (AxB)xC = Ax(BxC).

MATRIKS SATUAN

Matriks satuan adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0.
Notasi : I (Identitas)



SIFAT AI = IA = A

DETERMINAN MATRIKS

MATRIKS ORDO 2X2

Misalkan:


maka Determinan A (ditulis ) adalah:




MATRIKS ORDO 3X3

CARA SARRUS

Misalkan:

Jika

maka tentukan !

Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:

Contoh:

maka tentukan !

CARA EKSPANSI BARIS KOLOM

Misalkan:


maka tentukan dengan ekspansi baris pertama!

MATRIKS SINGULAR

Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.

Contoh:



Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

vs

MATRIKS INVERS

Misalkan:



maka inversnya adalah:

·         Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A

·         Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.

Sifat-Sifat :

1. (A^t)^t = A
2. (A + B)^t = A^t + B^t
3. (A . B)^t = B^t . A^t
4. (A . B)^-1 = B^-1 . A^-1
5. A . A^-1 = A^-1 . A = I

Persamaan matriks

Tentukan X matriks dari persamaan:

·                     Jika diketahui matriks A.X=B

·         Jika diketahui matriks X.A=B

E.     BILANGAN REAL

Bilangan real adalah semua bilangan yang dapat ditemukan pada garis bilangan dengan cara penghitungan, pengukuran, atau bentuk geometrik. Bilangan –bilangan tersebut ada di dunia nyata. Ada berbagai macam bilangan yang termasuk dalam bilangan nyata.

A.    Macam-macam bilangan real

1. Bilangan Asli (A)

Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk

membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,…

A = {1,2,3,4,…}

2. Bilangan Genap (G)

Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nÎA

G = {2,4,6,8,…}

3. Bilangan Ganjil (Gj)

Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nÎA

Gj = {1,3,5,7,…}

4. Bilangan Prima (P)

Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan

hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1

P = {2,3,5,7,…}

5. Bilangan Komposit (Km)

Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh

bilangan yang lain

Km = {4,6,8,9,…}

6. Bilangan Cacah (C)

Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol

C = {0,1,2,3,4,…}

7. Bilangan Bulat (B)

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan

bilangan bulat positif.

B = {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}

8. Bilangan Pecahan (Pc)

Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan

dalam bentuk a/b, a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut,

dengan a dan b ÎB serta b ≠0

Contoh:

9. Bilangan Rasional (Q)

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan

dalam bentuk , a dan b ÎB serta b ≠0. (Gabungan bilangan bulat

dengan himpunan bilangan pecahan)

Contoh:

10. Bilangan Irasional (I)

Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat

dinyatakan dalam bentuk , a dan b ÎB serta b ≠0.

Contoh:  π = 3,14159…, e = 2,71828….

11. Bilangan Real (R)

Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan

rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan

dengan sebuah garis bilangan.

Contoh:

                                                -1         -2         -3         0          1          2          3          4

12. Bilangan Khayal (Kh)

Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa

dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.

Contoh:

13. Bilangan Kompleks (K)

Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan

dan khayal.

Contoh: 2 +

B. Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat

a. Sifat Komutatif:

a + b = b + a

a.b = b.a

Contoh:

1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11

2. 9 . 3  = 3 . 9  = 27

b. Sifat Assosiatif:

(a + b) + c = a + (b + c)

(a . b) . c = a . (b . c)

Contoh:

1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10

2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30

c. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan

a x (b + c) = ab + ac

Contoh:

5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6= 15 + 30= 45

d. Terdapat Dua Elemen Identitas

Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0,

sehingga memenuhi:

a + 0 = a

a . 1 = a

e. Terdapat Elemen Invers

Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu –

a yang memenuhi:

a + (-a) = 0

Setiap a ≠ 0 mempunyai balikan perkalian.

F.     Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif

Masih ingat bentuk berikut :
3² = 3 x 3
2³ = 2 x 2 x 2
5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.

Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.

Sifat 1
aⁿx aⁿ = a^{m + n}
2⁴ x 2³ = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
= 27
= 2⁴⁺³

Sifat 2
a^m : aⁿ = a^{m – n}, m > n
5⁵ : 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
= 5 x 5
= 52
= 5^{5 – 3}

Sifat 3
(a^m)ⁿ= a^{m x n}
(3⁴)² = 3⁴ x 3⁴
= (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
= (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
= 38
= 3^{4 x 2}

Sifat 4
(a x b)^m= a^m x b^m
(4 x 2)³ = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
= (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
= 4³ x 2³

Sifat 5
(a : b)^m = a^m : b^m
(6 : 3) ⁴ = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
= (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
= 6⁴ : 3⁴

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 2⁰ = 1 dan 2^-n = ¹/_2n , secara umum dapat ditulis :

Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.

Contoh:
Tentukan hasil berikut ini!

 (¹/₂)⁵
Jawab :

FUNGSI EKSPONEN DAN BENTUK AKAR
I. Eksponen Bulat positif
Jika aadalah bilangan real dan mmerupakan bilangan bulat positif maka bentuk a pangkat mmerupakan perkalian mfaktor yang setiap faktornya adalaha. Secara umum dinyatakan :

Berdasarkan penjelasan diatas, berlaku rumus-rumus berikut ini, misalkan a, b elemen real

dan p, q merupakan bilangan bulat positif. Maka :

II. Eksponen Rasional
Bilangan pangkat rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk dengan ketentuan m, n adalah bilangan bulat, Sehingga bilangan berpangkat rasional adalah bilangan yang berpangkat pecahan. Eksponen rasional secara umum dapat ditulis :

G.    Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, ^-1/₂, 0, 3, ³/₄, dan ⁵/_9.

Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya

√2 = 1,414213562 …. Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

Bentuk Akar

Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional. Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a² = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0

Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25×3 = √25 x √3 = 5√3

Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar ⁿ√a^mdapat ditulis a^m/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk a^m/ndisebut bentuk pangkat pecahan.

contoh :

Jawab :

Sifat-sifat Bentuk Akar

a. Menyederhanakan Bentuk Akar

Bilangan bentuk akar dapat disederhanakan dengan menggunakan sifat perkalian akar di bawah ini.

Untuk a, b suatu bilangan bulat positif berlaku :

b. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Untuk a, b, elemen R dan c adalah bilangan rasional bukan negatif berlaku :

c. Perkalian Bentuk Akar

Untuk a, b, adalah bilangan rasional bukan negatif berlaku :

d. Pembagian Bentuk Akar

Untuk a, b, adalah bilangan rasional bukan negatif berlaku :

e. Merasionalkan Penyebut Pecahan Dalam Bentuk Akar:

H.    Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.

kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku

a√b + c√b = (a + c)√b

a√b – c√b = (a – c)√b

Perkalian dan Pembagian

Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :

jawab :

Perpangkatan

Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)” = a^’. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:

 

Operasi Campuran

Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

• Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
• Jika tidak ada tanda kurungnya maka

1. pangkat dan akar sama kuat;
2. kali dan bagi sama kuat;
3. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
4. kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh :

Merasionalkan Penyebut

Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya

Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah

Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

Penyebut Berbentuk √b

Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan ^a/_√b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan ^√b/_√b .

Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!

Jawab :

Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
Bukti

Contoh :

Rasionalkan penyebut pecahan berikut.

Jawab :

Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)

Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.

Contoh:

Selesaikan soal berikut!

Jawab :

BAB III

PENUTUPAN

A. Kesimpulan

Faktor terpenting dalam adalah memahami konsep dan definisi materi itu sendiri dan juga bagiannya.

B. Saran

           Untuk meningkatkan prestasi belajar siswa perlu dikembangkan pendekatan pembelajaran yang dapat mengaktifkan siswa, mengkondisikan siswa sehingga dapat mengkonstruksi sendiri pengetahuannya dan menggunakan modelmodel yang dikembangkan sendiri oleh siswa.Namun demikian dalam implementasinya di sekolah tidaklah mudah, sehingga perlu kerja keras para guru dan siswa. Keberhasilan implementasi tergantung pada kemampuan guru untuk membuat suatu iklim dimana siswa mau mencoba berpikir dengan cara baru dan mengkomunikasikannya dengan orang lain.

DAFTAR PUSTAKA

Rahmat, et al. (2006). Belajar Matematika dengan Orientasi Penemuan dan Pemecahan Masalah. Bandung: Sarana Pancakarya.

Ruseffendi. (1992). Pendidikan Matematika 3. Jakarta: Depdikbud

Sinaga, M. et al. (2006). Terampil Berhitung Matematika untuk SD Kelas IV. Jakarta: Erlangga